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【妄想属性】妄想巨大数
【作品名】妄想巨大数
【名前】ハイパー百式乗数
【属性】俺が適当に考えた巨大数
【大きさ】成人男性のhsk(100)倍の大きさ
【攻撃力】大きさ相応の成人男性並み
【防御力】大きさ相応の成人男性並み
【素早さ】大きさ相応の成人男性並み
【長所】ハイパー式乗数の数の増加率はめちゃくちゃ半端ない
【短所】もっともっとでかい巨大数になった
【定義】
ハイパー式乗数とは、式乗数を拡張した算法である
作者は頭が悪いので式乗数とクヌースの矢印表記を用いて定義する
hsk(n) = sk(sk(sk(…sk(n)))…) ※n copies of sk
n↑↑n = m₁
m₁↑↑m₁ = m₂
m₂↑↑m₂ = m₃
m₃↑↑m₃ = m₄
・
・
・
mn↑↑mn = mn₊₁
とすると
hsk(n) = mn↑↑mn = mn₊₁
となる
例
hsk(1) = sk(1) = 1↑↑1 = 1
hsk(2) = sk(sk(2)) = sk(2)↑↑sk(2) = 4↑↑4 ≒ 3.4*10^38
hsk(3) = sk(sk(sk(3))) = sk(sk(3))↑↑sk(sk(3)) = ((3↑↑3)↑↑(3↑↑3))↑↑((3↑↑3)↑↑(3↑↑3))
hsk(4) = sk(sk(sk(sk(4)))) = sk(sk(sk(4)))↑↑sk(sk(sk(4))) = (sk(sk(4))↑↑sk(sk(4)))↑↑ (sk(sk(4))↑↑sk(sk(4))) = (((4↑↑4)↑↑(4↑↑4))↑↑((4↑↑4)↑↑(4↑↑4)))↑↑(((4↑↑4)↑↑(4↑↑4))↑↑((4↑↑4)↑↑(4↑↑4)))
356 ： ◆omTDoIF0bw ：2016/11/19(土) 10:24:19.94 ID:M9N9m5M8
ちなみに、
₁
とかはUnicodeでなら表示できるよ
-◆考察記録---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
309 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/13(日) 17:41:27.68 ID:lmd25hTz
ハイパー百式乗数について
実質、hsk(100)とグラハム数（G)を比較することとなる。
sk(sk(n))=msk(n)とすると、
hsk(100)=msk(msk(……msk(100)……)) ※50 copies of msk
補題1.
a,b>2,c>=2の時（a↑↑b）↑↑c<a↑↑(b↑↑c)
証明.a,b>2 c=2の時
(a↑↑b)↑↑2
=a^(a↑↑(b-1)×a↑↑b)
<a^(a↑↑(b+1))
<a^(a↑↑(b^2)-1)
=a↑↑(b↑↑2)
c=kの時（a↑↑b）↑↑c<a↑↑(b↑↑k)が成り立つと仮定すると
（a↑↑b）↑↑(k+1)
=a^((a↑↑b）↑↑k)
<a^((a↑↑(b↑↑k))
<a^(a↑↑(b↑↑(k+1)-1))
=a↑↑(b↑↑(k+1)) c=k+1でも成立。
よって数学的帰納法より補題1が証明された。また、証明は略するが↑が何本になっても補題1は成立する。詳しくはTim Chow(1998)を参考のこと。
msk(100)
=(100↑↑100)↑↑（100↑↑100) 補題1によるa=100,b=100,c=100↑↑100として
<100↑↑(100↑↑(100↑↑100))
G(4)
=3↑↑↑G(3)
=3↑↑(3↑↑……(3↑↑3))………)))※G(3) copies of 3 補題1を適切に使用し
>(3↑↑3)↑↑((3↑↑3)↑↑((3↑↑3)↑↑(3↑↑3)))
よってmsk(100)<G(4)
G(n)=3↑↑……↑3 ※ n copies of ↑
msk(n)
=sk(n)↑↑sk(n)
<n↑↑(n↑↑(n↑↑(n↑↑n)))=n↑↑↑5
補題2.n>20の時、G(n)>n↑↑↑5
証明
G(n)=3↑↑(↑はn-1本）…↑G(n-1)
=3↑↑(↑はn-1本）……↑3↑↑(↑はn-2本)……3 補題1を適切に使用し
>G(n-1)↑↑(↑はn-2本)……3 以下同様に
>G(n-1)↑↑(↑はn-2本)……↑G(n-3)↑↑(↑はn-4本)……↑G(n-5)↑↑(↑はn-6本)……↑G(n-7)↑↑(↑はn-8本)……↑G(n-9)↑↑(↑はn-10本)……↑3
>
>G(n-1)↑↑G(n-3)↑↑G(n-15)↑↑G(n-7)↑↑G(n-9)
>G(n-9)↑↑↑5>n↑↑↑5
よってG(4)>4↑↑↑5>msk(4)
G(G(4))>G(msk(4))>msk(msk(4))
これをくりかえすことで、
G^50(4)>msk^50(4)
よってグラハム数＞hsk(100)
310 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/13(日) 17:43:08.51 ID:lmd25hTz
これを書くのに結構時間がかかったので、
◆omTDoIF0bwはこの証明に不十分なところがないかよく確認した上で
テンプレの誤字を訂正しておくこと。copiseとはルーマニア語で幼児という意味らしいよ
311 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/13(日) 17:53:21.78 ID:lmd25hTz
早速誤字を見つけた。途中から書き直し
よってmsk(100)<G(4)
G(n)=3↑↑……↑3 ※ n copies of ↑
msk(n)
=sk(n)↑↑sk(n)
<n↑↑(n↑↑(n↑↑n))=n↑↑↑4
補題2.n>10の時、G(n)>n↑↑↑4
証明
G(n)=3↑↑(↑はn-1本）…↑G(n-1)
=3↑↑(↑はn-1本）……↑3↑↑（↑はn-2本)……↑G(n-2) 以下同様に
=3↑↑(↑はn-1本）……↑3↑↑(↑はn-2本）……↑3↑↑(↑はn-3本）……↑3↑↑(↑はn-4本）……↑3↑↑(↑はn-5本）……↑3↑↑(↑はn-6本）……↑3↑↑(↑はn-7本）……↑G(n-7) 補題1を適切に使用し
>G(n-1)↑↑(↑はn-2本)……↑G(n-3)↑↑(↑はn-4本)……↑G(n-5)↑↑(↑はn-6本)……↑3↑↑(↑はn-7本)……↑G(n-7)
>G(n-1)↑↑G(n-3)↑↑G(n-5)↑↑3↑↑G(n-7)
>G(n-1)↑↑G(n-3)↑↑G(n-5)↑↑G(n-7)
>G(n-7)↑↑↑4>n↑↑↑4
よってG(4)>4↑↑↑5>msk(4)
G(G(4))>G(msk(4))>msk(msk(4))
これをくりかえすことで、
G=G^64(4)>G^50(4)>msk^50(4)=hsk(100)
よってグラハム数＞hsk(100)
313 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/13(日) 18:06:15.55 ID:lmd25hTz
まだ誤字があった。
>G(n-1)↑↑G(n-3)↑↑G(n-5)↑↑G(n-7)
>G(n-7)↑↑↑4>n↑↑↑4 よって補題2は証明された。
補題2より
G(n)>n↑↑↑4>msk(n)
よってG(4)>msk(4)
G(G(4))>G(msk(4))>msk(msk(4))
これをくりかえすことで、
G=G^64(4)>G^50(4)>msk^50(4)=hsk(100)
よってグラハム数＞hsk(100)
351 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/17(木) 22:29:41.09 ID:qPnOY81z
ハイパー百式乗数についてのずっとエレガントな考察
hsk(3)<3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3=3↑↑↑2^3
hsk(4)<4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4↑↑4=4↑↑↑2^4
と同様に、hsk(100)<100↑↑↑2^100
G(4)=3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑G(3)=3↑↑3↑↑↑(G(3)-1)
>(3↑↑3)↑↑↑(G(3)-1)>100↑↑↑2^100
よってG(4)>hsk(100) つまりグラハム数>hsk(100) まだまだレベルが違った。
ちなみにG(2)=3^27<sk(100)
G(3)=3↑↑G(2)=3↑3↑3↑↑(G(2)-2)>(3↑↑↑3)↑↑(G(2)-2)>100↑↑100=sk(100)
sk(sk(100))=(100↑↑100)↑↑(100↑↑100)>3↑↑3↑↑3=G(3)
以上からG(2)<sk(100)<G(3)<sk(sk(100))<hsk(100)<G(4)
360 ： ◆rrvPPkQ0sA ：2016/11/20(日) 10:55:36.33 ID:26COclHP
ハイパー百式乗数考察
Mr.グラハム＞ハイパー百式乗数＞百式乗数
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